Question

关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数，如果对于任意的都有成立为常数），则函数关于点对称．

（1）用题设中的结论证明：函数关于点；

（2）若函数既关于点对称，又关于点对称，且当时，，求：①的值；

②当时，的表达式．

Answer

（1）证明见解析；（2）①；②.

【解析】

（1）根据题设中的结论证明即可；

（2）由题意可得，①代值计算即可；②由，然后代值计算即可.

（1）f（x）=的定义域为{x|x≠3}，对任意x≠3有f（3﹣x）+f（3﹣x）=（﹣2﹣）+（﹣2﹣）=﹣4，

∴函数f（x）=关于点（3，﹣2）对称；

（2）函数f（x）关于点（2，0）对称，

∴f（2+x）+f（2﹣x）=0，

即f（x）+f（4﹣x）=0，

又关于点（﹣2，1）对称，

∴f（﹣2+x）+f（﹣2﹣x）=2，

即f（x）+f（﹣4﹣x）=2，

∴f（﹣4﹣x）=2+f（4﹣x），

即f（x+8）=f（x）﹣2，

①f（﹣5）=f（3）+2=23+3×3+2=19，

②x∈（8k﹣2，8k+2），x﹣8k∈（﹣2，2），4﹣（x﹣8k）∈（2，6），

∴f（x）=f（x﹣8）﹣2=f（x﹣8×2）﹣2×2=f（x﹣8×3）﹣2×3=…=f（x﹣8k）﹣2k，

又由f（t）=﹣f（4﹣t），

∴f（x）=f（x﹣8k）﹣2k=﹣f[4﹣（x﹣8k）]﹣2k=﹣[24﹣（x﹣8k）+3（4﹣（x﹣8k））]﹣2k，

∴即当x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z时，f（x）=﹣24﹣x+8k+3x﹣26k﹣12.