Question

已知数列满足，其中．

（1）若数列前四项，，，依次成等差数列，求，的值；

（2）若，且数列为等比数列，求的值；

（3）若，且是数列的最小项，求的取值范围．

Answer

（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）

【解析】

（1）由已知求出，由等差数列的定义得的方程可求解；

（2）由求出值，代入已知递推式求出，验证它是等比数列；

（3）当时，用累加法求得，由恒成立得，恒成立．用作差法证明数列是递增数列，从而可得最小值，得的一个范围，再由得的另外一些范围后可得的范围

（1）由已知递推式可得，，；

，，．

由等差数列知，，得；

（2），则，

由，得或．

当时，，，满足题意；

当时，由累加法得，满足题意；

（3）时，

，

，

当时，由恒成立得，恒成立．

设，只需求出的最小值．

．

当时，，有；

当时，直接验证；

故为最小值，其值为，∴；

当时，需满足恒成立，

对验证，

，；，；，；，．

综上，．