Question

已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.

（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；

（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；

（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.

Answer

（1）；见解析（2）见解析；（3），，

【解析】

（1）根据题意利用恒成立，直接解出；（2）把替换成，根据成立，得出结论；（3），利用三角函数化简得到对任意的都成立，所以，根据题意推出，再求出结论．

【解析】
（1）由及，

可得，即为对成立，

需满足条件，解得，，因，存在，所以．

（2）证明：由，对于定义域内的任意，均有成立，

所以把替换成，成立，即，因为，所以，

所以，由的任意性及其存在，所以恒成立．

（3）由，得，

展开得，

所以，

即对任意的都成立，所以，

即，由于（当且仅当时，等号成立），

所以，又因为，故．

当时，，；

当时，，．

故函数的“伴随数对”为和，．