Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，.

（1）求证：平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（3）求点E到平面ACD的距离．

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD；

（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦；

（3）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，故，由AO＝1，知，由此能求出点E到平面ACD的距离．

（1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，

∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．

在△AOC中，由题设知，AC＝2，

∴AO2+CO2＝AC2，

∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．

∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，

∴AO⊥平面BCD．

（2）【解析】
取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，

知ME∥AB，OE∥DC，

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．

在△OME中，，

∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴，

∴，

∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为

（3）【解析】
设点E到平面ACD的距离为h．

，

，

在△ACD中，，

∴，

∵AO＝1，，

∴，

∴点E到平面ACD的距离为．