Question

如图，矩形垂直于正方形垂直于平面．且．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求证：面面．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（1）因为面面，

面面，

所以

又因为面，故，

因为，

所以即三棱锥的高，

因此三棱锥的体积

（2）如图，设的中点为，连结．

在中可求得；

在直角梯形中可求得；

在中可求得

从而在等腰，等腰中分别求得，

此时在中有，

所以

因为是等腰底边中点，所以，

所以，

因此面面

【方法点晴】

本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．再立体几何中如果题目条件中有面面垂直，则必然会用到面面垂直的性质定理，即由面面垂直得线面垂直；证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．本题用到了直角三角形．