Question

设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．

（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；

（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；

（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析

【解析】

(Ⅰ)求出f (P)＝[0，3]，f (M)＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P)∪f (M)．

(Ⅱ)由f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，得到当x＜0时，f (x)＜0， (﹣∞，0)⊆P． 同理可证 (0，+∞)⊆P． 由此能求出P，M．

(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f (﹣x0)＝﹣x0，且f (﹣x0)＝﹣ (﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f (P)∪f (M)≠R”是真命题．

(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，

所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，

所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．

(Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，

所以当x＜0时，f (x)＜0，

所以(﹣∞，0)⊆P． 同理可证(0，+∞)⊆P．

因为P∩M＝∅，

所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．

(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：

假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．

首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，

则0∉f (P)，且0∉f (M)，

即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．

若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，

所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)．

因为f (P)∪f (M)＝R，

所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．

所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．

所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，

根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．

综上，该命题为真命题．