Question

如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用中位线，结合线面平行的判定定理，证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值，进而求得其余弦值.

（1）连结，交于点，连结，则为的中点，

因为为的中点，所以，又因为平面，

平面，所以平面；

（2）由可设：，则，

所以，又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图，

则、、、，

，，，

设平面的法向量为，

则且，可解得，令，

得平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，所以，

所以直线与平面所成角的余弦值为．