Question

如图，在直角梯形中，,点是中点，且,现将三角形沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为.

(1)求证:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）可证平面，从而可证平面平面.

（2）以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系, 求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.

(1)证明:在平面中，

为沿折起得到，

平面，

又平面平面平面

(2)解:在平面中，

由(1)知平面平面而平面故.

由与平面所成的角为，得，

为等腰直角三角形，,

，又，得,

，故为等边三角形，

取的中点,连结,

平面，

以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线轴所在的直

线为轴建立空间直角坐标系如图，

则

从而，

设平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为,

则由得

，令得，

由得，令得，

所以，

设二面角的大小为，则为钝角且，

即二面角的余弦值为