Question

已知椭圆的两焦点为，，且过点，直线交曲线于，两点，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（3）若直线过点，求面积的最大值，以及取最大值时直线的方程．

Answer

（1）（2）见解析 （3）最大值.

【解析】

（1）根据焦点求得，结合点坐标列方程组，解方程组求得，进而求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此计算出为定值.

（3）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，根据弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式求得面积的最大值，以及此时直线的方程.

（1）由题意知有，且，解得，∴.

（2）证明：设直线的方程为，

设，，，

则由可得，即，

∴，∴，

，

，

∴直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（3）点，，

由可得，

，解得，

，，

∴

.

设，，

，

，

当时，取得最大值.

此时，即，

所以直线方程是.