Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．

（1）求证：为的中点；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小

（1）设，的交点为，连接．

因为平面，平面平面，所以．

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点．

（2）取的中点，连接，．因为，所以．

又平面平面，且平面，所以平面．

因为平面，所以．因为是正方形，所以．

如图，建立空间直角坐标系，则，，，

所以，．

设平面的法向量为，则，即．

令，则，，于是．

平面的法向量为，所以．

由题知二面角为锐角，所以它的大小为．

（3）由题意知，，．

设直线与平面所成角为，则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．