Question

如图,三棱柱的所有棱长均为,底面侧面,为的中点,.

(1)证明：平面.

(2)若是棱上一点,且满足,求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题（1））取的中点，连接，易证为平行四边形，从而 .由底面侧面，可得侧面，即，又侧面为菱形，所以，从而平面，可证得AB1⊥A1P．
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量法求解．

试题解析;（1）取的中点，连接，易证为平行四边形，从而 .由底面侧面，底面侧面，，底面，所以侧面，即侧面，又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为平面，所以.

（2）由（1）知，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，，，，，，得.设，得，所以，所以.而 .所以，解得.所以，，.设平面的法向量，由得，取.而侧面的一个法向量.设二面角的大小为.则