Question

已知函数，在区间上有最大值，有最小值，设．

（1）求的值；

（2）不等式在时恒成立，求实数的取值范围；

（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）根据在上的单调性，结合最大值和最小值，得到关于的方程组，解得的值；（2）先得到的解析式，根据，令，得到恒成立，从而得到的取值范围；（3）设，然后方程可化为，根据的图像，得到方程的根的取值要求，由根的分布得到关于的不等式组，解得的取值范围.

（1）

开口向上，对称轴为，

所以在上单调递增，

因为在区间上有最大值8，有最小值2，

所以有，即

解得，

（2），所以，

因为，令

由不等式在时恒成立，

得在时恒成立，

则，即

因为，则，所以

所以得.

（3）设，则方程

可转化为，即

整理得

根据的图像可知，方程要有三个不同的实数解，

则方程的要有两个不同的实数根

一根在之间，一根等于，或者一根在之间，一根在，

设

①一根在之间，一根等于时，

，即，

解得，所以无解集

②一根在之间，一根在时，

，即，

解得，所以.

综上所述，满足要求的的取值范围为.