Question

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，点为上一动点，且，.

（1）试证明不论点在何位置，都有；

（2）求的最小值；

（3）设平面与平面的交线为，求证：.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题（1）先证明平面，再由平面得到；（2）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（3）先证平面，然后利用直线与平面平行的性质定理证明.

试题解析：（1）底面是正方形，，

底面，面，，

又，平面,

不论点在何位置都有平面，

；

（2）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，

设，则，

在中，，，

在三角形中，有余弦定理得：

，

；

（3）连结，，，，，

又，，，，，

，，

又面，平面，

平面平面，.