Question

设、分别为椭圆的左、右两个点，若椭圆上的点到、两点的距离之和为4，

（1）求椭圆的方程

（2）直线过点且与椭圆交于，两点.是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在最大值，为.

【解析】

（1）利用椭圆性质代入数据计算得到答案.

（2）设直线的方程为 ，联立方程利用韦达定理得到，

，计算，设，化简得到，利用函数单调性得到答案.

（1）到、两点的距离之和为4，故，且

故椭圆C方程为．

（2）存在面积的最大值.

因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．

则整理得 ．

由．设．

则

则 ．

因为．

设，则，则

设在区间上为增函数．所以．

所以，当且仅当时取等号，即．

所以的最大值为．