Question

如图1，在矩形中，，，分别在线段上，，将矩形沿折起，记折起后的矩形为，且平面平面，如图2.

（1）求证：平面；

（2）若，求证：；

（3）求四面体体积的最大值．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

试题（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．

所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC∥MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD． 4分

（2）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF， 5分

所以FC⊥NE．又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，

所以ND⊥FC． 8分

（3）【解析】
设NE=，则EC=4-，其中0＜x＜4．由（1）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为，所以.

当且仅当，即x=2时，四面体NFEC的体积有最大值2．