Question

已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的右顶点，点是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为.试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.

Answer

(1)；(2)答案见解析.

【解析】

试题（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，联立，得，根据韦达定理、斜率公式及直线与斜率之积为，可得，解得或，将以上结论代入直线方程即可得结果.

试题解析：（1）可知离心率，故有，

又有点在椭圆上，代入得，

解得，，

故椭圆的方程为.

（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为

，，，

联立得.

∴，.

∵直线与斜率之积为.

而点，∴.

∴.

化简得，

∴，

化简得，解得或，

当时，直线的方程为直线与斜率之积为，过定点.

代入判别式大于零中，解得.

当时，直线的方程为，过定点，不符合题意.

故直线过定点.