Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

（1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

（2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积．

Answer

（1）互相垂直，证明见解析（2）或.

【解析】

(1)证明平面中的即可.

(2)利用多面体的体积为,分为线段的两个不同的三等分点进行求解即可.

解法一：（1）平面与平面互相垂直,

理由如下：

因为底面,平面,

所以．

因为为正方形,所以

又,且平面,

所以平面．

因为平面,所以

因为,为线段的中点,所以,

又,且平面,

所以平面,

因为平面,所以平面平面．

（2）因为底面,为线段的中点,

所以点到底面的距离为,

则,

又为线段的三等分点,

当时,,

所以多面体的体积为；

当时,,

所以多面体的体积为．

综上,多面体的体积为或.

解法二：（1）平面与平面互相垂直,

理由如下：

因为底面,平面,所以平面底面,

又平面底面,,平面,

所以平面．

因为平面,所以

因为,为线段的中点,所以,

又,且平面,

所以平面,

因为平面,

所以平面平面

（2）同解法一．