Question

已知圆，椭圆（）的短轴长等于圆半径的倍，的离心率为．

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，且与圆相切，证明：．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

(1)由题分别计算椭圆的基本量即可.

(2)分直线斜率不存在与存在两种情况讨论,当直线斜率存在时,设其方程为利用直线与圆相切求得,再联立椭圆方程设交点再得出韦达定理证明0即可.

解法一：（1）依题意,圆半径等于,

因为椭圆的短轴长等于圆半径的倍,

所以,解得

因为的离心率为,所以, ①

又因为,所以, ②

联立①② ,解得,

所以的方程为.

（2）证明：①当直线斜率不存在时, 直线的方程为,或．

当时,,则,故．

同理可证,当时,．

②当直线斜率存在时,设其方程为

因为直线与圆相切,所以,即,

由得,,

所以,且

所以

,

所以

综上,

解法二：（1）同解法一

（2）①当直线方程为时, ,则

,故

同理可证,当直线方程为时,

②当直线不与轴平行时,设其方程为

因为直线与圆相切,所以,即

由得,

所以,且

,

所以,．

综上,