Question

已知椭圆:的左右焦点分别是,点在椭圆上，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于、两点，求实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据椭圆的定义以及点到直线的距离公式即可求出，从而求得椭圆的方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，再由题意可得，将两根之和、两根之积代入即可求解.

（1）点到直线的距离为,得，

由得,椭圆的方程为.

（2）联立，设,

得,

,,

由题意可知：，即,

即,

得,

代入解得即为所求.