Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，,，，，分别为的中点.

（Ⅰ）证明：平面∥平面；

（Ⅱ）若，

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）求点到平面的距离.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）；（2）

【解析】

（Ⅰ）证出，，利用面面平行的判断定理即可证明.

（Ⅱ）（1）以为坐标原点，分别为轴，轴,轴的正方向，

建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利用法向量的数量积求出二面角的夹角.

（2）由平面的法向量，，根据数量积的几何意义即可求解.

（Ⅰ）连接为等边三角形，

为的中点，,

平面，,

又平面，平面，平面,

分别为的中点，,

又平面平面，

平面.

又平面，

平面平面.

（Ⅱ）（1）连接，平面平面，平面平面，

平面，

平面.

又两两互相垂直.

以为坐标原点，分别为轴，轴,轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系.

，

则，

设平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，

由，得，取,

，

由，得，取，

平面与平面成锐二的余弦值为

（2）面的法向量为,,

.