Question

已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，直线与相交于不同的两点．

（1）求的方程；

（2）若直线经过点，求的面积的最小值(为坐标原点)；

（3）已知点，直线经过点，为线段的中点，求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由题意方程求出右焦点坐标，即抛物线焦点坐标，进一步可得抛物线方程；

（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y1﹣y2|，代入三角形面积公式，利用二次函数求最值；

（3）分直线AB的斜率存在与不存在，证明有，可得CA⊥CB，又D为线段AB的中点，则|AB|＝2|CD|．

（1）∵椭圆的右焦点为，∴， ∴的方程为．

（2）（解法1）显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，

由，得，则，

∴当，即直线垂直轴时，的面积取到最小值，最小值为．

（解法2）若直线的斜率不存在，由，得，

的面积，

若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，

由，得，，且，

，

即的面积的最小值为．

（3）（解法1）∵直线的斜率不可能为零，设直线方程为，

由得，∴，

，

∴

，即，

在中，为斜边的中点，所以．

（解法2）（前同解法1）

线段的中点的坐标为，

所以．