Question

已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）增区间为；减区间为；（2）．

【解析】

试题

（1）当时，，由可得函数的定义域为，结合图象可得函数的减区间为，增区间为．（2）令，分两种情况考虑．当时，若满足题意则在上单调递减，且；当时，若满足题意则在上单调递增，且．由此得到关于a的不等式组，分别解不等式组可得所求范围．

试题解析：

（1）当时，，

由，得，

解得或，

所以函数的定义域为，

利用复合函数单调性可得函数的增区间为，减区间为．

（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，

①当时，

要使函数在区间上是增函数，则在上单调递减，且，

即，此不等式组无解．

②当时，

要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，且，

即，解得，

又，

∴，

综上可得．

所以实数的取值范围为．