Question

已知函数，.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）函数的极大值为，无极小值；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，利用导数求出该函数的极值点，并分析导数符号的变化，然后将极值点代入函数解析式即可得出该函数的极值；

（2）由，利用参变量分离法得出，构造函数，，可得出，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围.

（1）当时，，.

，令，得，列表如下：

极大值

函数的极大值为，无极小值；

（2），由，可得，

构造函数，，则，且，

令，解得，列表如下：

极大值

所以，函数在取得极大值，亦即最大值，即，

，因此，实数的取值范围是.