Question

已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，

（2）设l1，l2的方程，联立方程组消元解出A，B的坐标，代入斜率公式计算kAB．

（1）由已知，动点到定点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故曲线的方程为.

（2）由题意可知直线，的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.

设，，直线的方程为，.

直线的方程为，

由得，

已知此方程一个根为，∴，

即，同理，

∴，，

∴

，

∴，

所以，直线的斜率为定值.