Question

如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，设，请求出的关系式，并记

（1）求函数的表达式；

（2）设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围．

（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）

Answer

（1），；（2）

【解析】

（1）利用表示可知；由三点共线可知，由此得到，从而构造方程消掉变量即可得到所求函数表达式；

（2）设，则，由（1）中结论可表示为关于的函数；利用，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数的范围，结合对号函数单调性可确定最值，进而得到所求范围.

（1）为的中点，为的中点

又三点共线 ，

故，消去得：

当与重合时，，此时

（2）设的面积为

则的面积

令，则

，

当时，；当或时，