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已知为坐标原点,圆:, 圆:.分别为圆和圆上的动点,则的最大值为_______....

已知为坐标原点,圆, 圆分别为圆和圆上的动点,则的最大值为_______

 

【解析】 如图所示,以为直径作圆,延长交新圆于点,交新圆于点,首先证得,将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值,将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果. 如图所示,以为直径作圆,延长交新圆于点,交新圆于点, 连接,,则与垂直, 又,所以为中点, 由对称性可知, ∵, 所以, 因此当最大值时,最大, 故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形的面积最大值, 圆内接三角形的面积,由正弦定理得,, ∴ 由于,时为上凸函数, 可得 即,当且仅当时等号成立, 进而可得的最大值为,故答案为
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