Question

半圆的直径的两端点为,点在半圆及直径上运动,若将点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点,记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线的“直径”.

Answer

（1）答案见解析 （2）.

【解析】

(1)设,则,由题意可知当在直径上时,显然;当在半圆上时,,即可求得答案;

(2)设曲线上两动点,显然,至少有一点在椭圆上时才能取得最大,不妨设,,根据不等式性质,即可求得曲线的“直径”.

(1)设,则,

由题意可知当在直径上时,显然;

当在半圆上时,,

曲线的方程为或.

(2)设曲线上两动点,

显然,至少有一点在椭圆上时才能取得最大,

不妨设,

则,

等号成立时:,或,,

由两点距离公式可得:,

故曲线的“直径”为.