Question

某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于,则销售5000件;若气温位于,则销售3500件;若气温低于,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:

气温范围 (单位:)
天数	4	14	36	21	15

以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.

(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;

(2)设8月份一天销售这种食品的利润为(单位:元),当8月份这种食品一天生产量(单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少

Answer

（1）见解析，； （2）当时，的数学期望达到最大值，最大值为.

【解析】

(1)今年8月份这种食品一天的销量的可能取值为2000、3500、5000件,求出,和,即可求得随机变量的分布列和数学期望.

(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,所以只需要考虑.分别讨论,和,即可求得的数学期望最大值.

(1)今年8月份这种食品一天的销量的可能取值为2000、3500、5000件,

于是的分布列为:

2000

3500

5000

0.2

0.4

0.4

的数学期望为.

(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,

只需要考虑,

当时,

若气温不低于30度,则;

若气温位于,则;

若气温低于25度,则;

此时,

当时,

若气温不低于25度,则;

若气温低于25度,则;

此时;

时,的数学期望达到最大值,最大值为.