Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若时，求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．

（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．

（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，

且，

，

，且，

且，

四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，

，，1，，，0，

设平面的一个法向量为，

，，

，令，，，

设平面的一个法向量为，

，，

，

令，，，，

，

，

二面角的正弦值为．

（Ⅲ）令，，，，，

设平面的一个法向量为，

，，

，令，

，

由题意可得：，

，

，．