Question

已知函数.

（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；

（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.

Answer

(1)；(2).

【解析】

（1）利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时，参数 的取值范围为，则可知函数 在定义域上不单调时， 的取值范围为 ；（2）易知 ，设 的两个根为 ，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围.

由已知，

（1）①若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，

而，所以；

②若在定义域上单调递减，则，即在上恒成立，

而，所以.

因为在定义域上不单调，所以，即.

（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.

又，所以.

令的两根分别为，，

即的两根分别为，，于是.

不妨设，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以

.

令，于是，

，

由，得，

又，所以.

因为，

所以在上为减函数，

所以.