Question

已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4

（1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.

（2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.

（3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）先计算椭圆：，根据相似比得到椭圆的方程.

（2）点是椭圆上的一点，则，设，计算

得到证明.

（3）根据题意：只需上存在两点关于对称即可，利用韦达定理计算，得到答案.

（1）根据题意知，椭圆：，，椭圆：

椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，则

椭圆的方程为：

（2）点是椭圆上的一点，则，

设

故

所以点一定在双曲线上

（3）：根据题意：只需上存在两点关于对称即可

设，设的中点为

由韦达定理知：

在直线上，则故

此时正方形的边长为

故