Question

如图所示，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，AA₁＝2，M是棱CC₁的中点．证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M．

Answer

证明见解析

【解析】

通过长方体的几何性质证得，通过计算证明证得，由此证得平面，从而证得平面平面.

由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，

又BM⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BM．

又CC1＝2，M为CC1的中点，

∴C1M＝CM＝1．在Rt△B1C1M中，B1M，

同理BM，又B1B＝2，

∴B1M2+BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M．

又A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M，

∵BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M．