Question

如图，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰为的中点，且.

（1）求证：；  

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）（3）不存在点满足要求.见解析

【解析】

（1）作交于点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明；

（2）利用（1）中所建坐标系，求出直线的方向向量和平面的一个法向量，则两向量的夹角的余弦值的绝对值即为线与面的夹角的正弦值；

（3）假设存在设（），求出平面的一个法向量，根据，即可求出的值，即可得证.

证明：（1）作交于点，分别以所在直线为 轴建系

所以，

，所以

（2）因为，所以面的一个法向量为

因为，所以，

设线与平面所成角为，

（3）不存在，设，（）

,

设面的一个法向量为

有

，得

所以不存在点满足要求.