Question

在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形．

（Ⅰ）若，证明：直线平面；

（Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论．

Answer

（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线平面.

【解析】

试题（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有了，那么再在平面内找一条直线与BC垂直.据题意易得，平面ABC，所以.由此得平面.（2）首先连结，取的中点O.考虑到，分别是线段，的中点，故在线段上取中点，易得.从而得直线平面.

试题解析：（Ⅰ）因为四边形和都是矩形，

所以.

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，

所以平面ABC.

因为直线平面ABC内，所以.

又由已知，为平面内的两条相交直线，

所以，平面.

（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.

由已知，O为的中点.

连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.

所以，，

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.

因为直线平面，平面，

所以直线平面.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面.