Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.

(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．

设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以

不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，

设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则所以

不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.

由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C－PB－A的余弦值为.