Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析

【解析】

(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

(3)由，C，M三点共线，利用向量共线得出，利用线面垂直的判定定理证明平面，由于，不平行，则不存在棱上的点，使得平面.

（1）在四棱锥中

因为平面平面，平面平面

又因为，平面

所以平面

因为平面

所以

（2）取中点，连接

因为

所以

因为平面平面，平面平面

因为平面

所以平面

所以

因为

所以

所以四边形是平行四边形

所以

如图建立空间直角坐标系，则

.

设平面的法向量为，则

即

令，则.

所以.

因为平面的法向量，

所以

由图可知，二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.

（3）设是棱上一点，则存在使得.

设，则

所以

所以

所以.

所以.

因为平面

所以平面.

所以是平面的一个法向量.

若平面，则.

所以

因为方程组无解，

所以在棱上不存在点，使得平面.