Question

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，焦点为，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的标准方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于两点．记 的面积为，证明：．

Answer

（1），；（2）见解析

【解析】

(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C及圆O的标准方程；

(2)利用斜截式设出直线的方程，根据点到直线的距离公式得到点到直线的距离，将直线的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明.

（1）由题意，椭圆C的方程为.

可得，解得

所以椭圆C的方程为．

因为焦点在轴上，

所以椭圆C的焦点为．

所以直径为的圆O的方程为．

（2）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，

设直线的斜截式方程为.

因为直线与圆相切，

所以点到直线的距离为.

即.

因为直线与椭圆C相交于两点，

由，整理得，

设，则

.

因为．

又，

所以.

所以.

又因为，

所以．

因为，

所以

．

设，则，则

.

令.

则.

设

因为在上单调递减，

所以.

所以.