Question

已知函数．

（1）求曲线的斜率为2的切线方程；

（2）证明：；

（3）确定实数的取值范围，使得存在,当时,恒有．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；

(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；

(3)分类讨论，当时，不满足题意；当时，根据不等式的性质得出不满足题意；当时，构造函数，利用导数证明即可.

（1）函数的定义域为.

由得.

令，即，得，（舍）．

又，

所以曲线的斜率为２的切线方程为

（2）设，则

.

令得，（舍）．

当时，；

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以.

所以.

（3）由（2）可知，

① 当时，，

所以不存在，当时，恒有；

所以不符合题意.

②当时，对于，，

所以不存在，当时，恒有；

所以不符合题意.

③当时，设.

因为，

令即.

因为，

解得.

又因为，

所以.

取.

当时，；

所以在上单调递增.

所以.

即.

所以符合题意.

所以实数的取值范围是.