Question

对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由.

（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（3）设，若不是定义域R上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

Answer

（1）为局部奇函数，详见解析（2）（3）或

【解析】

（1）由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f（x）＝ax2+2bx﹣3a，可得结论；

（2）由题可知有解，，变量分离求值域即可；

（3）先考虑函数是定义域R上的“局部奇函数”，然后求补集即可.

（1），则得到有解，所以为局部奇函数．

（2）由题可知有解，，

设，所以，

所以．

（3）若为局部奇函数，则有解，

得，

设p＝2x+2﹣x∈[2，+∞），

所以方程等价于p2﹣2mp+2m2﹣8＝0在p≥2时有解．

设h（p）＝p2﹣2mp+2m2﹣8，对称轴p＝m，

①若m≥2，则△＝4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，

∴，

此时；

②若m＜2时，

则，即，

此时，

综上得：．

故若不为局部奇函数时或．