Question

某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道、（宽度忽略不计），已知，（单位：米），要求圆与、分别相切于点、，与、分别相切于点、，且.

（1）若，求圆、圆的半径（结果精确到米）；

（2）若景观步道、的造价分别为每米千元、千元，如何设计圆、圆的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到千元）？

Answer

（1）圆、圆的半径分别为米、米；

（2）的半径与圆的半径分别为米与米时，总造价最低，最低总造价为千元.

【解析】

（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径；

（2）设，可得，其中，然后得出总造价（千元）关于的函数表达式，并利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立求出对应的的值，即可计算出两圆的半径长.

（1）依题意，圆的半径（米），

，

圆的半径（米） ，

答：圆、圆的半径分别为米、米；

（2）设，则，其中，

故景观步道的总造价为.

（当且仅当时取等号），

当时，，

答：设计圆的半径与圆的半径分别为米与米时，总造价最低，最低总造价为（千元）.