Question

设数列满足，，.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）对于大于的正整数、（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组；

（3）若数列满足，是否存在实数，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且实数的取值范围是.

【解析】

（1）利用等比数列的定义结合数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列为等比数列；

（2）由（1）中的结论求出等比数列的通项公式，然后分、、三种情况讨论，结合等比数列和指数运算可求出、的值，由此可得出结果；

（3）求得，作差，分为奇数和偶数两种情况求解不等式恒成立问题，利用参变量分离法求出实数的取值范围.

（1）由，，

即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）知，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若，则，，

又，，；

②若，则，，

左边为偶数，右边为奇数，不成立；

③若，同理也不成立.

综合①②③得，；

（3）依题意，

则.

若存在，则对恒成立.

①当为奇数时，，其中当时，，故；

②当为偶数时，，其中当时，，故.

综上所述，存在实数，使得数列是单调递增数列.