Question

对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数的一个弱渐近函数.

（1）若函数是函数在区间上的一个弱渐近函数，求实数的取值范围；

（2）证明：函数是函数在区间上的弱渐近函数；

（3）试问：函数与函数（其中为自然对数的底数）在区间上是否存在相同的弱渐近函数？如果存在，请求出对应的弱渐近函数应满足的条件；如不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）存在，，其中.

【解析】

（1）由弱渐近函数的定义得出，由此可求出实数的取值范围；

（2）当时，利用分子有理化结合放缩法证明出，结合弱渐近函数的定义可证明结论成立；

（3）假设存在满足题意的弱渐近函数，根据弱渐近函数的定义得出和，可求得以及实数所满足的不等式组，解出即可得出满足题意的若渐近函数的解析式.

（1）依题意，当时，恒成立，

即恒成立，故，所以，实数的取值范围是；

（2）当时，

，

，.

故，得证；

（3）假设存在满足题意的弱渐近函数，

，

若，由于当时，，故，

但是，当时，，故，

不符合“恒成立”的要求，所以，

此时，则，

解得：；

，

当时，，故，

得，解得：.

综上所述，函数与函数在区间上存在相同的弱渐近函数，对应的弱渐近函数是，其中.