Question

将正分割成个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数的和为，已知，则（用含的式子表达）__________

Answer

【解析】

作为一个填空题，根据等差数列性质，依次分析，数据特点，根据规律观察归纳出

各点放的数用该点的字母表示，

由题，根据等差数列性质可得：

当时，，三个式子相加得：

，；

当时，，三个式子相加得：

，

由根据等差中项性质：，三个式子相加可得：，所以，

当时，依据等差数列等差中项性质：

，即，

同理，

所以，

，

由于每条与三边平行的线上的点上数据成等差数列：

所以，

，

即，

可以分析当时，各边上的点数据之和为，

内部的点个数为，点上数据之和为，

所以，

即.