Question

已知阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知.

（1）求和的值；

（2）计算行列式和；

（3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除.

Answer

（1），；（2），；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列得出，，；

（2）结合第一问公式依据行列式的求法，即可得解；

（3）根据公式得出错位相减求和，利用二项式定理证明.

（1）由题：各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，，所以，所以第一行公差为1，

所以，，

每列都是公比为2的等比数列，所以；

（2），

；

（3）由（1）得，

，

，

，

即

当是3的倍数时，设，

所以

能被21整除，命题得证.