Question

若函数的定义域为，满足对任意，有.则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，恒有，则称为“对数形函数”.

（1）当时，判断是否是“形函数”，并说明理由；

（2）当时，判断是否是“对数形函数”，并说明理由；

（3）若函数是形函数，且满足对任意都有，问是否是“对数形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.

Answer

（1）不是；详见解析（2）是；详见解析（3）是，详见解析

【解析】

（1）由，作差化简，得到当，同号时，此时，即可得到结论；

（2）因为恒成立，可利用分析法和函数的新定义，作出判定和证明．

（3）由的新定义和，得到，进而得到，再根据对数的运算性质，即可求解．

（1）由题，函数，

则

当，同号时，此时，

此时不满足，所以不是型函数．

（2）因为恒成立，

要证对任意，，，

即证对任意，，，

即证对任意，，．

因为，

所以是对数型函数

（3）函数是对数型函数．证明如下：

因为是型函数，所以对任意，，有，

又由对任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是对数型函数．