Question

已知函数，．

（1）判断的单调性，并证明之；

（2）若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出的定义域，判断的单调性，再利用单调性的定义证明即可.

（2）由（1）知，为偶函数，进而对，讨论即可.

（1）由，得，所以的定义域为，

在区间上为增函数，在区间上为减函数，

证明如下：

任取，则

∵，

∴，即

故，所以在区间上为减函数，

同理可证，在区间上为增函数.

综上所述：在区间上为增函数，在区间上为减函数.

（2）由（1）知为偶函数，且在区间上为增函数，

若存在，使得函数在区间上的值域为，即，

则方程，即在区间上有两个不同的根，

设，必有，解得，

因为偶函数，则在区间上存在实数，，使得函数在区间上的值域为，则有，

若存在，使得函数在区间上的值域为，

则有，或，

所以，则，

若或，则或，

即方程有两个根，，其中，

因，其对称轴为，故不存在实数，满足题意，

综上所述：实数的取值范围为.