Question

如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，、分别为、的中点，，，.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）由等腰三角形三线合一的性质可得，由平面与平面垂直的性质定理可得出平面，计算出三棱锥的体积，由为的中点，可得出三棱锥的体积为三棱锥的体积的一半，即可得出答案.

（1）因为，为的中点，，且，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，所以平面；

（2）因为，.

因为，，，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，

的面积为，

连接，则.

又是线段的中点，，

故三棱锥的体积为.