Question

已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；

（Ⅱ）若,,，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ） .

【解析】

试题（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，

圆心坐标为，圆心到轴的距离为，

圆的半径为，

所以，以线段为直径的圆与轴相切．

（Ⅱ）解法一：设，由,,得

，，

所以，

，

由，得．

又，，

所以．

代入，得，，

整理得，

代入，得，

所以，

因为，所以的取值范围是．

解法二：设，，

将代入，得，

所以（*），

由，，得

，，

所以，，

，

将代入（*）式，得，

所以，．

代入，得．

因为，所以的取值范围是．