Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．

（1）证明：EF∥平面PAC；

（2）证明：平面PCG∥平面AEF；

（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．

Answer

（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析

【解析】

（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点．

（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，

∴，

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，

∴AE∥CG，

∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，

∴AE∥平面PCG，

又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，

∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，

∴平面AEF∥平面PCG．

（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，

∴，

∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，

∴FN∥平面PGC，

即N点为所找的H点．