Question

已知点，点P为平面上的动点，过点P作直线l：的垂线，垂足为Q，且．

Ⅰ求动点P的轨迹C的方程；

Ⅱ设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足，求的取值范围．

Answer

Ⅰ；Ⅱ

【解析】

Ⅰ设,则,根据代入整理即可得P点的轨迹方程；

Ⅱ表示出MA方程并与轨迹C联立,可得A的坐标,设出直线AB的方程并与C联立,利用根于系数关系得到的坐标,进而得到,并用换元思想及二次函数最值可求出范围

Ⅰ因为，设,则,

所以,,,,

因为,

所以,

整理得,

所以点P的轨迹C的方程为

Ⅱ根据题意知,设MA：,

联立,解得,所以点,

设AB：,

联立,消去x得,

设,,则,

因为,所以,

则,

所以,

设,则,

令,对称轴为,所以y在上单调递增,

所以当时,y取最小值,即取最小值,

所以最小值为,

则最小值为,

所以取值范围是